Ni que estuvieran en la nasa.
Estoy medio dormido pero a mi parecer quisiste hacer esto:Es así, como dijo Oxida:
Evaluando la identidad en x: f(x^2)+x.f(x)+2.x^2=0 (1)
Evaluando la identidad en -x: f([-x]^2)+[-x].f([-x])+2.[-x]^2=0
f(x^2)+[-x].f([-x])+2.x^2=0 (2)
f(x^2)+x.f(x)+2.x^2 = f(x^2)+[-x].f([-x])+2.x^2 (1) = (2)
x*f(x) = -x*f(-x)
f(x) = -f(-x)
f(x^2)+x.f(x)+2.x^2 = f(x^2)+[-x].f([-x])+2.x^2 (1) = (2)
Si no me equivoco, vos estás igualando (1) con (2), es decir, estas igualando f(x) con f(-x) (en otras palabras estás diciendo que f(x) es par) lo cual no sabés si es cierto o no. El contraejemplo que puse es de la función par: f(x)= x^2 en la que eso no se cumple.
EDIT: Yo escribí mal esto:
Tendría que haber dicho: PAReso está mal ya que estas suponiendo que la funcion es impar. Suponete que la f sea f(x)=x^2.
1*f(1)= 1
-1*f(-1)= -1*1 = -1 y no se cumple.
Última edición por cibgks; 03/10/2011 a las 17:34
Bueno, con esto corto. ):
Sí, igualé (1) y (2) y no, no igualé f(x) con f(-x). El ejercicio pide demostrar que, si f verifica la siguiente igualdad:
f(x^2)+x.f(x)+2.x^2=0
entonces f es impar. Si es una igualdad, la expresión vale para todo x: en particular, para (a) y (-a), donde la evalúo.
f(a^2)+a.f(a)+2.a^2=0
f((-a)^2)+(-a).f((-a))+2.(-a)^2=0
Además, si hubiera hecho f(x)=f(-x), sería absurdo tomar una función par como contraejemplo de la igualdad, ya que la debería cumplir por definición.
si f verifica la siguiente igualdad f(x^2)+x.f(x)+2.x^2=0 entonces f es impar.
Entonces, si f no es impar ---> NO vale f(x^2)+x.f(x)+2.x^2=0
Tomemos la función de dirichlet (ni par ni impar) y vemos que se cumple la contrarrecíproca. Pero tomemos f(x) = x^2.
f no es impar, pero
f(x^2)+x.f(x)+2.x^2= f(0^2)+0.f(0)+2.0^2=0 invalidando la proposición.
Por favor seguímela por acá o por pm si tenes tiempo estoy interesado no quiero sentir que mis casi dos años y medio de cursado en lic en mat son al pedo. En serio te lo digo.
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